Un problema donde se emplea la Transformación de Möbius

 

Problema: Sea $\left\{a_{n}\right\}$ definida recursivamente por

$$a_{n+1}=\frac{1}{4-3 a_{n}} \text { para } n \geq 1$$

Determine para que valores de  $a_{1}$ la sucesión converge y en ese caso encontrar el límite de convergencia.


Solución: 

Sea $f: \overline{\mathbb{C}} \to \overline{\mathbb{C}}$ la transformación de Möbius definida por  $$f(x)=\frac{1}{4-3x}$$

nosotros además, podemos ver que  $f$ tiene dos puntos fijos. En efecto, note que  $$f^{(n)}(1)=1 \quad \text{y además} \quad f^{(n)}\left( \frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}$$

Entonces $\boxed{\gamma_{1}=1}$ y $\boxed{\gamma_{2}=\frac{1}{3}}$ son puntos fijos $f$. Por lo tanto, podemos introducir una nueva coordenada compleja proyectiva  $z$ via

$$z=\frac{x-\gamma_{2}}{x-\gamma_{1}} \implies z:={x-{1\over3}\over x-1}\implies  x={z-{1\over3}\over z-1}\ .$$

Ahora, en términos de estas coordenadas $f$  aparece como ${\displaystyle \hat f(z)={z\over3}}$  con los puntos fijos  $\boxed{\gamma_{3}=0}$ y  $\boxed{\gamma_{4}=\infty}$, entonces 

$$\bigl(\hat f\bigr)^{\circ n}(z)={z\over 3^n}\ .$$

De donde se sigue que para cualquier punto inicial  $z\ne\infty$,  $$\lim_{n\to\infty}\bigl(\hat f\bigr)^{\circ n}(z)=0\ .$$

Por lo tanto, para todo punto inicial $x\ne1$  nosotros tenemos que 

$$\lim_{n\to\infty}f^{\circ n}(x)={1\over3}\ .$$

Entonces, podemos concluir que si  $a_{1}\not=1$, entonces $$a_{n} \to \frac{1}{3} \quad  \text{cuando} \quad n \to \infty$$

Por otra parte, $a_{1}=1 \implies a_{n}=1, \forall n\in \mathbb{N}$.

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