Teorema de Hall (Teoría de grafos)

En esta primera publigación voy a demostrar el teorema de Hall (un principio muy famoso en teoría de grafos), haciendo uso del  teorema de König-Egerváry.

Recordemos que el teorema de König-Egerváry, nos dice que:

"Sea $G$ un grafo bipartito. El máximo número de aristas en un emparejamiento en $G$ es igual al mínimo número de vértices en una cubierta de aristas para $G$".

mientras que el teorema de Hall nos dice que: 

"Sea $G$ un grafo bipartito con conjuntos partitos $X$ y $Y$. Entonces $X$ puede ser emparejado en $Y$ si, y sólo si, $\forall S\subseteq X: |N(S)|\geq |S|$".



En otras palabras el teorema de Hall nos dice que cada subconjunto $S$ de $X$ tiene suficientes vértices adyacentes en $Y$.

Demostración del teorema de Hall:
Veamos que

$(\implies)$  Si $G$ tiene un emparejamiento de tamaño $|X|$, es decir si $X$ puede ser emparejado en $Y$, entonces para todo subconjunto $S$ de $X$ se tiene que $|S|\leq |N(S)|$.

$(\Longleftarrow)$ Queremos probar que si $\forall S \subseteq X: |N(S)|\geq |S|$, entonces existe un emparejamiento de $X$ en $Y$. Para ver esto, sea $M$ el máximo emparejamiento en $G$, entonces por el teorema de König-Egerváry, existe una cubierta de aristas de tamaño $|M|$.

Ahora, sea $A$ el conjunto de vértices de la cubierta de aristas que están en $X$, además sea $B=A^{C_{X}}=X-A$ y sea $C$ el conjunto de vértices de la cubierta de aristas que están en $Y$. Entonces se tiene que 


  1. Por la definición de $A$ y $B$, se tiene que $|A|+|B|=|A|+|X-A|=|X|$, es decir $|A|+|B|=|X|$.
  2. Por la condición se Hall, se sabe que $\forall S \subseteq X: |N(S)|\geq |S|$, entonces en particular $|B|\leq |N(B)|$.
  3. Además, $N(B)\subseteq C$;  en efecto, si $v \in B$ tiene un entorno $u\notin C$, entonces $uv$ es una arista no cubierta por la cubierta de aristas dada. Por lo tanto, debe darse que $N(B)\subseteq C$ y esto implica que $|N(B)|\leq |C|$.
  4. Veamos que de lo anterior $|B|\leq |N(B)|\leq |C|$.
  5. Además, por el König-Egerváry, sabemos que $|A|+|C|=|M|$.

Así, combinando $(1)$ y $(4)$ obtenemos que $|X|\leq |A|+|C|$ y usando $(5)$ tenemos que $|X|\leq |M|$. En otras palabras, el máximo emparejamiento tiene un tamaño de al memos $|X|$, pero desde que cada arista de $M$ usa un vértice de $X$ y cada vértice puede ser usado a lo sumo una vez, entonces tiene que darse que $|X|=|M|$ y así $M$ satura $X$, es decir existe un emparejamiento de $X$ en $Y$.


Así, queda probado el teorema de Hall.

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