Problems-Solving Strategy

  Problema:   Resolver $$ y'=\frac{(x+2y+1)y}{(3x+4y+1)x} $$ Solución:  Reescribiendo la ecuación diferencial ordinaria, tenemos que $$(3x^2+4xy+x)dy-(xy+2y^2+y)dx=0$$ $$\implies(3x^{-1}y^2dy-x^{-2}y^3dx)+(4x^{-2}y^3dy-2x^{-3}y^4dx)+x^{-1}y^2\bigg(\frac{xdy-ydx}{x^2}\bigg)=0$$ $$\implies d\bigg(\frac{y^3}{x}\bigg)+d\bigg(\frac{y^4}{x^2}\bigg)+\frac{y^2}{x}d\bigg(\frac{y}{x}\bigg)=0$$ Haciendo, $\frac{y^3}{x}=u$ and $\frac{y^4}{x^2}=v$ gives $$du+dv+\sqrt{v}d\bigg(\frac{v}{u}\bigg)=0$$ $$\implies\frac{d(u+v)}{\sqrt{u+v}}+\frac{\sqrt{v}}{\sqrt{u+v}}d\bigg(\frac{v}{u}\bigg)=0$$ $$\implies\frac{d(u+v)}{\sqrt{u+v}}+\dfrac{\sqrt{\frac{v}{u}}}{\sqrt{1+\frac{v}{u}}}d\bigg(\frac{v}{u}\bigg)=0$$ Integrando, tenemos que $$2\sqrt{u+v}+\frac{\sqrt{v(u+v)}}{u}-\ln\bigg(\frac{\sqrt{v}+\sqrt{u+v}}{\sqrt{u}}\bigg)=C$$ $$\implies\boxed{\bigg(2+\frac{1}{y}\bigg)\sqrt{\frac{y^4}{x^2}+\frac{y^3}{x}}-\ln\bigg(\frac{y^2}{x}+\sqrt{\frac{y^4}{x^2}+\frac{y^3}{x}}\bigg)+\frac{1}{2}\ln\bigg(\fr...

  Problema: Sea $\left\{a_{n}\right\}$ definida recursivamente por $$a_{n+1}=\frac{1}{4-3 a_{n}} \text { para } n \geq 1$$ Determine para que valores de  $a_{1}$ la sucesión converge y en ese caso encontrar el límite de convergencia. Solución:  Sea $f: \overline{\mathbb{C}} \to \overline{\mathbb{C}}$ la transformación de Möbius definida por  $$f(x)=\frac{1}{4-3x}$$ nosotros además, podemos ver que  $f$ tiene dos puntos fijos. En efecto, note que  $$f^{(n)}(1)=1 \quad \text{y además} \quad f^{(n)}\left( \frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}$$ Entonces $\boxed{\gamma_{1}=1}$ y $\boxed{\gamma_{2}=\frac{1}{3}}$ son puntos fijos $f$. Por lo tanto, podemos introducir una nueva coordenada compleja proyectiva  $z$ via $$z=\frac{x-\gamma_{2}}{x-\gamma_{1}} \implies z:={x-{1\over3}\over x-1}\implies  x={z-{1\over3}\over z-1}\ .$$ Ahora, en términos de estas coordenadas $f$  aparece como ${\displaystyle \hat f(z)={z\over3}}$  con los puntos fijos...